lunes, 4 de junio de 2012

COORDENADAS POLARES

HISTORIA


Los primeros usos empíricos de relaciones entre ángulos y distancias se relacionan con aplicaciones a la navegación y el estudio de la bóveda celeste. El astrónomo Hiparco (190 a. C.-120 a. C.) creó una tabla trigonométrica que daba la longitud de una cuerda en función del ángulo y existen referencias del uso de coordenadas polares para establecer la posición de las estrellas. En Sobre las espirales, Arquímedes describe la espiral de Arquímedes, una función cuyo radio depende del ángulo. Sin embargo, estas aplicaciones no hacían uso de un sistema de coordenadas como medio de localizar puntos en el plano, situación análoga al estado de la geometría antes de la invención de la geometría analítica.
En tiempos modernos, Grégoire de Saint-Vincent y Bonaventura Cavalieri introdujeron de forma independiente el concepto a mediados del siglo XVII en la solución de problemas geométricos. Saint-Vincent escribió sobre este tema en 1625 y publicó sus trabajos en 1647, mientras que Cavalieri publicó sus escritos en 1635 y una versión corregida en 1653. Cavalieri utilizó en primer lugar las coordenadas polares para resolver un problema relacionado con el área dentro de una espiral de Arquímedes. Blaise Pascal utilizó posteriormente las coordenadas polares para calcular la longitud de arcos parabólicos.
Sin embargo, el concepto abstracto de sistema de coordenada polar se debe a Sir Isaac Newton, quien en su Método de las fluxiones escrito en 1671 y publicado en 1736, introduce ocho nuevos sistemas de coordenadas (además de las cartesianas) para resolver problemas relativos a tangentes y curvas, uno de los cuales, el séptimo, es el de coordenadas polares. En el periódico Acta Eruditorum Jacob Bernoulli utilizó en 1691 un sistema con un punto en una línea, llamándolos polo y eje polar respectivamente. Las coordenadas se determinaban mediante la distancia al polo y el ángulo respecto al eje polar. El trabajo de Bernoulli sirvió de base para encontrar el radio de curvatura de ciertas curvas expresadas en este sistema de coordenadas.
El término actual de coordenadas polares se atribuye a Gregorio Fontana, y fue utilizado por los escritores italianos del siglo XVIII. El término aparece por primera vez en inglés en la traducción de 1816 efectuada por George Peacock del Tratado del cálculo diferencial y del cálculo integral de Sylvestre François Lacroix,mientras que Alexis Clairault fue el primero que pensó en ampliar las coordenadas polares a tres dimensiones.

El sistema de coordenadas polares es un sistema de coordenadas bidimensional en el cual cada punto del plano se determina por un ángulo y una distancia.
De manera más precisa, se toman: un punto O del plano, al que se le llama origen o polo, y una recta dirigida (o rayo, o segmento OL) que pasa por O, llamada eje polar (equivalente al eje x del sistema cartesiano), como sistema de referencia. Con este sistema de referencia y una unidad de medida métrica (para poder asignar distancias entre cada par de puntos del plano), todo punto P del plano corresponde a un par ordenado (r, θ) donde r es la distancia de P al origen y θ es el ángulo formado entre el eje polar y la recta dirigida OP que va de O a P. El valor θ crece en
sentido antihorario y decrece en sentido horario. La distancia r (r ≥ 0) se conoce como la «coordenada radial» o «radio vector», mientras que el ángulo es la «coordenada angular» o «ángulo polar».
En el caso del
origen , O, el valor de r es cero, pero el valor de θ es indefinido. En ocasiones se adopta la convención de representar el origen por (0,0º).

DEFINICION

Plano formado por la intersección de dos rectas numéricas perpendiculares, utilizadas para ayudar a localizar la posición de cualquier punto en un mapa o gráfica, denominadas la horizontal x y la vertical y. 


Las coordenadas de un punto cualquiera vendrán dadas por las proyecciones de la distancia entre el punto y el origen sobre cada uno de los ejes.

 

Ejes de coordenadas

Al sistema de coordenadas también se le llama ejes de coordenadas o ejes cartesianos.
El eje horizontal se llama eje X o eje de abscisas.
El eje vertical se llama eje Y o eje de ordenadas.
El punto O, donde se cortan los dos ejes, es el origen de coordenadas.
Las coordenadas de un punto cualquiera P se representan por (x, y).
La primera coordenada se mide sobre el eje de abscisas, y se la denomina coordenada x del punto o abscisa del punto.
La segunda coordenada se mide sobre el eje de ordenadas, y se le llama coordenada y del punto u ordenada del punto.
Los ejes de coordenadas dividen al plano en cuatro partes iguales y a cada una de ellas se les llama cuadrante.

Definición:Par ordenado es un conjunto formado por dos elementos y un criterio de ordenación que establece cuál es primer elemento y cuál el segundo.

Ejemplo: (1, 2)

1: primera componente o ABSCISA.
2: segunda componente u ORDENADA.

Un par ordenado puede representar a un subconjunto del producto cartesiano entre dos conjuntos, a un punto del plano en un diagrama cartesiano o bien a una razón.

El origen de coordenadas, O, tiene de coordenadas: O(0, 0)

Los puntos que están en el eje de ordenadas tienen su abscisa igual a 0

Los puntos situados en el eje de abscisas tienen su ordenada igual a 0.

Los puntos situados en la misma línea horizontal (paralela al eje de abscisas) tienen la misma ordenada.

 Los puntos situados en una misma línea vertical (paralela al eje de ordenadas) tienen la misma abscisa.





P (x, y)
Para localizar puntos en el plano cartesiano se debe llevar a cabo el siguiente procedimiento:
1. Para localizar la abscisa o valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia la derecha si son positivas o hacia la izquierda si son negativas, a partir del punto de origen, en este caso el cero.
2. Desde donde se localiza el valor de x, se cuentan las unidades correspondientes (en el eje de las ordenadas) hacia arriba si son positivas o hacia abajo, si son negativas y de esta forma se localiza cualquier punto dadas ambas coordenadas